Simulacro de olimpíadas nivel 1

Un problema de olimpíada no se parece a un ejercicio de la escuela. No dice qué tema hay que usar, no tiene un ejemplo resuelto tres páginas antes, y muchas veces se resuelve sin ninguna fórmula.

Eso desconcierta la primera vez. Después se vuelve el mejor entrenamiento que existe para pensar.

Cómo se lee un enunciado de olimpíada

Tres cosas que hacen los que llegan lejos, y que se pueden aprender:

• Leer dos veces antes de escribir. La primera para entender la situación, la segunda para anotar los datos. Escribir mientras se lee por primera vez lleva a resolver el problema equivocado.
• Probar con números chicos. Si el problema habla de 2026 casilleros, empezá con 3 y con 4. El patrón casi siempre aparece ahí.
• Aceptar quedarse trabado. Diez minutos sin avanzar no es fracasar: es la parte del proceso donde efectivamente se aprende algo. Un problema que sale en treinta segundos no enseñó nada.

El simulacro

Diez problemas de nivel 1, pensados para primaria y primer año, ordenados de menor a mayor dificultad. Se resuelve mejor en una sola sentada, con lápiz y papel, sin calculadora y sin apuro. Noventa minutos es una buena referencia; si lleva más, no importa.

Las soluciones están más abajo, comentadas: no sólo el resultado, también el camino. Conviene no bajar hasta haber intentado los diez.

1. El producto de tres números naturales consecutivos es 210. ¿Cuáles son?

2. Una canilla llena un tanque en 6 horas. Otra lo llena en 3 horas. Si se abren las dos a la vez, ¿en cuánto tiempo se llena el tanque?

3. Hoy la edad de la madre es el triple de la del hijo. Hace 5 años era el quíntuple. ¿Qué edad tiene cada uno?

4. En un cuadrado de 10 cm de lado se marcan los puntos medios de los cuatro lados y se los une formando un nuevo cuadrado. ¿Cuál es el área del cuadrado interior?

5. En una reunión hay 20 personas y cada una saluda a todas las demás exactamente una vez. ¿Cuántos saludos hubo en total?

6. ¿Cuántos números del 1 al 1000 son múltiplos de 3 pero no de 5?

7. ¿Cuántos números de tres cifras tienen sus tres cifras distintas y son múltiplos de 5?

8. Un rectángulo mide 12 cm por 8 cm. Se marca un punto en su interior y se lo une con los cuatro vértices, quedando cuatro triángulos. Tres de ellos miden 15 cm², 20 cm² y 28 cm². ¿Cuánto mide el cuarto?

9. Se escriben los números naturales uno atrás del otro, sin espacios: 123456789101112… ¿Qué dígito ocupa el lugar número 100?

10. En un pizarrón están escritos los números del 1 al 10. En cada paso se borran dos números y se escribe la diferencia entre ellos, el mayor menos el menor. Se repite hasta que queda un solo número. ¿Puede quedar el 0?

Las soluciones

1. Son 5, 6 y 7. Conviene estimar antes de probar: 210 está entre 5³ = 125 y 7³ = 343, así que los tres números andan cerca de 6. Con 5 · 6 · 7 = 210 se termina. Probar desde 1 en adelante también llega, pero estimar primero es el hábito que sirve.

2. En 2 horas. El error clásico es promediar 6 y 3 y contestar 4 horas y media, que además es absurdo: con las dos canillas tiene que tardar menos que con la más rápida sola. Lo que se suma no son los tiempos sino los trabajos por hora. La primera llena 1/6 del tanque por hora y la segunda 1/3, o sea 2/6. Juntas, 3/6 = medio tanque por hora: el tanque completo en 2 horas.

3. El hijo tiene 10 y la madre 30. Si el hijo tiene una edad cualquiera, la madre tiene el triple. Hace 5 años los dos tenían 5 años menos, y ahí la madre era el quíntuple. Probando: si el hijo tiene 10, la madre tiene 30, y hace 5 años eran 5 y 25 — justo el quíntuple. Con una ecuación sale igual, pero a esta edad probar y ajustar es una estrategia perfectamente válida.

4. 50 cm², la mitad. No hace falta calcular el lado del cuadrado interior, que no es un número redondo. Los cuatro triángulos que quedan afuera son iguales, y si se los da vuelta hacia adentro tapan exactamente el cuadrado interior: son la mitad del cuadrado grande. Buscar la fórmula del lado lleva a una raíz cuadrada innecesaria — este problema premia mirar el dibujo.

5. 190 saludos. Cada una de las 20 personas saluda a las otras 19, lo que da 20 · 19 = 380. Pero ahí cada saludo se contó dos veces, una por cada persona que participó, así que hay que dividir por 2: 190. Contar de más y después corregir es una técnica que aparece en muchísimos problemas.

6. 267 números. Múltiplos de 3 hasta 1000 hay 333, porque 3 · 333 = 999. De esos hay que sacar los que también son múltiplos de 5, o sea los múltiplos de 15: hay 66, porque 15 · 66 = 990. Quedan 333 − 66 = 267.

7. 136 números. Un múltiplo de 5 termina en 0 o en 5, y conviene separar los dos casos porque no son simétricos. Si termina en 0: la primera cifra puede ser cualquiera del 1 al 9 y la del medio cualquiera de las 8 que sobran, o sea 9 · 8 = 72. Si termina en 5: la primera no puede ser 0 ni 5, así que hay 8 opciones, y la del medio otras 8 de las que quedan, o sea 64. En total 72 + 64 = 136. El caso del 0 es distinto porque el 0 no puede ir adelante, y no darse cuenta de eso es el error más común acá.

8. 33 cm². El rectángulo mide 12 · 8 = 96 cm², y los cuatro triángulos lo cubren entero: 96 − 15 − 20 − 28 = 33. Hay algo más lindo escondido, que sirve para verificar: los dos triángulos opuestos siempre suman la mitad del rectángulo, 48. Y efectivamente 15 + 33 = 48 y 20 + 28 = 48.

9. El 5. Del 1 al 9 hay 9 dígitos. Del 10 al 99 hay 90 números de dos dígitos, o sea 180 dígitos más. Así que el lugar 100 cae entre los de dos cifras. Descontando los 9 primeros, buscamos el dígito 91 de esa tanda. Como van de a dos, 91 = 2 · 45 + 1: se completaron 45 números y estamos en el primer dígito del siguiente. El número 46 de la lista que empieza en 10 es el 55, y su primer dígito es 5.

10. No, nunca puede quedar el 0. Este es el más difícil y el más olimpíada de los diez, porque no se resuelve probando: se resuelve encontrando algo que no cambia. La suma de 1 hasta 10 es 55, que es impar. Cuando se borran dos números y se escribe su diferencia, la suma baja en el doble del menor de los dos — siempre un número par. Restar un número par nunca cambia si la suma es par o impar, así que la suma sigue siendo impar en cada paso. Al final queda un solo número, que es toda la suma: tiene que ser impar, y el 0 es par. Buscar qué se conserva es una de las ideas más potentes que hay en olimpíadas.

Después del simulacro

Lo importante no es cuántos salieron. Es cuáles se entendieron después de ver la solución y cuáles siguen sin cerrar: esos marcan por dónde seguir.

En los talleres de olimpíadas trabajamos con grupos reducidos y ciclos por nivel. Si querés que veamos juntos cómo le fue, contanos.

Si es la primera vez que se acercan a esto, cómo funcionan las olimpíadas tiene el camino completo, de la ronda colegial al certamen nacional. Y si el que resuelve está en primaria, problemas de olimpíada en primaria tiene cinco más para arrancar.